Урок 7. Арифметика в позиционных системах счисления

Для любой позиционной системы счисления должны быть заданы правила выполнения арифметических операций. Для выполнения сложения, вычитания, умножения и деления удобно использовать таблицы сложения и умножения однозначных чисел в данной системе счисления.Сегодня мы познакомимся с арифметикой в двоичной и восьмеричной системе счисления.

Таблица сложения для двоичной системы счисления

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Таблица умножения для двоичной системы счисления

Х	0	1
0	0	0
1	0	1

Таблица сложения для восьмеричной системы счисления

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Таблица умножения для восьмеричной системы счисления

х	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

Для правильного осуществления арифметических операций необходимо вспомнить правила сложения, вычитания, умножения «столбиком».

Если числа представлены в разных системах счисления, то до выполнения операции их нужно перевести в одну систему счисления.

До начала вычислений оба исходных числа записываются друг под другом, они выравниваются по младшему разряду.

Операция сложения

Сложение начинается с младшего разряда.

Если в результате сложения двух цифр одного разряда получается одноразрядное число, то оно записывается в данный разряд.

Если в результате сложения двух цифр одного разряда получается двузначное число, то младшая цифра записывается в данный разряд, а старшую цифру (1) держим «в уме». Она должна быть учтена при сложении цифр более старшего разряда. Это называется переносом в следующий разряд.

Операция вычитания

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то операнды меняют местами, а перед результатом ставят знак минус.

Вычитание начинается с младшего разряда. Вычитание — операция обратная сложению, поэтому можно пользоваться соответствующей таблицей сложения.

Если цифра, стоящая в младшем разряде уменьшаемого, больше, чем цифра в соответствующем разряде вычитаемого, то результат ищем по таблице.

Если цифры равны, то в разряд результата пишем 0.

Если цифра, стоящая в младшем разряде уменьшаемого, меньше, чем цифра в соответствующем разряде вычитаемого, то необходимо «занять» 1 в более старшем разряде. При этом 1 единица старшего разряда «рассыпается» на q единиц в предшествующем разряде (q - основание системы счисления)

Аналогично проводят вычисления во всех разрядах. Необходимо помнить, что значение разряда, из которого «занимали», становится на 1 меньше.

Пример 1. Сложить 10101₂ и 1011₂

1. Записываем числа столбиком, выравниваем по младшему разряду	101012 + 10112
2. Складываем цифры младшего разряда. 12+12=102 (смотри таблицу). Значит, в младший разряд пишем 0, а 1 переносим в следующий разряд (запишем ее над более старшим разрядом)	1  101012 + 10112          02
3. Переходим к следующему разряду, более левому разряду. Не забудьте учесть 1 переноса! 02+12+12=102 Опять в разряд пишем 0, а 1 переносим в следующий разряд (запишем ее над более старшим разрядом)	1 1  101012 + 10112        002
4. Аналогично складываем все остальные разряды. Учитываем переносы	1 1 1 1  101012 + 10112 1000002

Пример 2. Сложить 4273₈ и 53431₈

1. Записываем числа столбиком, выравниваем по младшему разряду	42738 + 534318
2. Складываем цифры младшего разряда. 38+18=48 (смотри таблицу). Значит, в младший разряд пишем 4	42738 + 534318            48
3. Переходим к следующему разряду, более левому разряду. 78+38=128 (смотри таблицу). В разряд пишем 2, а 1 переносим в следующий разряд (запишем ее над более старшим разрядом)	1      42738 + 534318          248
4. Аналогично складываем все остальные разряды. Учитываем, если необходимо, переносы	1      42738 + 534318    577248

Домашнее задание - выполнить письменно в тетради

1. Найти сумму и разность чисел 1101,111₂ и 111,01₂
2. Найти сумму и разность чисел 35,62₈ и 16,05₈